Introduction à la topologie de Zariski

Ce court article propose deux mots sur la topologie de Zariski, qui se définit aussi bien sur un espace affine que sur un espace projectif. Dans l'ensemble de ce billet, on se place sur un corps $k$ algébriquement clos (donc infini) et on regarde le cas affine. La topologie de Zariski est un concept de géométrie algébrique dont le but est d'étudier les courbes algébriques, c'est-à-dire les courbes caractérisées par un système (fini) d'équations polynomiales à nombre fini d'indéterminées.
Parmi les courbes algébriques les plus simples, on trouve notamment les droites, les coniques (en dimension 2), également les plans, les quadriques (en dimension 3). Parmi les plus complexes, on compte la célèbre équation de Fermat (en dimension 3) $x^m+y^m=z^m$ dont Andrew Wiles a montré en 1994 qu'elle n'admettait aucune solution dans $\mathbb{N}^3$. Il y a aussi l'équation de Catalan $x^y-y^x=1$, dont il fut montré récemment qu'elle n'admettait qu'une seule solution dans l'ensemble des entiers naturels (x=3, y=2).

La topologie de Zariski est une famille de fermés définie sur le $k$-espace vectoriel $k^n$. Un ensemble algébrique est l'ensemble des points d'annulation conjoints d'une famille de polynômes $S\subset k[X_1,\dots,X_n]$. Au passage, on remarque qu'un point annule tous les polynômes de $S$ si et seulement si il annule tous les polynômes de l'idéal engendré par $S$. On peut donc supposer qu'un ensemble algébrique se base sur un idéal de $k[X_1,\dots,X_n]$.

L'ensemble algébrique associé à l'idéal I se note : $V(I)=\{x\in k^n : \forall P\in I, P(x)=0\}$
Réciproquement, si V est un ensemble algébrique a priori associé à une partie quelconque S de $k[X_1,\dots,X_n]$, alors l'idéal des polynômes annulateurs de V est noté I(V).

Attention : même si on a V(I(V)) = V, on n'a en revanche pas forcément I(V(I)) = I. C'est l'objet du Nullstellensatz ou Théorème des zéros de Hilbert : la seconde égalité est réalisé si et seulement si I est un idéal radical - i.e. si pour tout polynôme de la forme $P^r$ de I, $P\in I$ (une racine de P est en effet une racine de n'importe quelle puissance de P et réciproquement).

On remarque qu'une union finie d'ensembles algébriques est un ensemble algébrique : l'ensemble des points qui annulent les polynômes d'un idéal I ou d'un idéal J est l'ensemble des points qui annulent les polynômes de l'idéal $IJ$. De même, l'intersection quelconque d'ensembles algébriques est un ensemble algébrique : l'ensemble des points qui annulent les polynômes de tous les idéaux d'une famille est l'ensemble des points qui annulent les polynômes de la somme de ces idéaux.

L'argument est le suivant : une somme quelconque d'idéaux est un idéal dans notre cadre car $k[X_1,\dots,X_n]$ est un anneau noethérien, donc toute somme quelconque d'idéaux se retrouve engendrée par un nombre fini de polynômes. A l'inverse, un produit quelconque d'idéaux n'est pas forcément bien défini.

Cet ensemble de fermés définit alors une topologie appelée topologie de Zariski.

Les ouverts de cette topologie sont les complémentaires des fermés. Donc, pour un fermé donné par un idéal I de $lk[X_1,\dots,X_n]$, le complémentaire est l'ensemble des points en lesquels il existe un polynôme de I qui ne s'annule pas.

Quelles sont alors les suites convergentes en topologie de Zariski ? Pour bien sentir cela, notons que pour une suite convergente, l'ensemble formé des valeurs de la suite et de sa limite est une partie fermée. En topologie de Zariski, les fermés sont les V(I) pour I idéal de $K[X_1,\dots,X_n]$. Or cet anneau est noethérien, donc tout idéal est de type fini, engendré par un nombre fini de polynômes $(P_1,\dots,P_k)$.

En fait, les fermés de la topologie de Zariski sont des courbes algébriques, c'est-à-dire des courbes définies par un système d'équations polynomiales.

Par exemple, lorsque n=2, on tombe sur les courbes algébriques du plan. Si I est principal, on observe entre autres les cas suivants :

• si I est engendré par un polynôme de degré 2, V(I) est une conique (parabole, ellipse ou hyperbole)
• si I est engendré par un polynôme de degré 1, V(I) est une droite

Evidemment, il n'y a aucune raison de limiter le degré des polynômes générateurs à 2. En allant plus haut, on trouve des courbes d'une complexité sans bornes (courbes cubiques, etc.).

Les suites convergentes en topologie de Zariski suivent donc le tracé de l'intersection de courbes algébriques.

Enfin, la topologie de Zariski présente une particularité : elle rend l'espace $k^n$ irréductible, c'est-à-dire, de manière équivalente :

• si $F\cup G=k^n$ pour F et G fermés, alors $F=k^n$ ou $G=k^n$
• si $U\cap V=\emptyset$ pour U et V ouverts, alors $U=\emptyset$ ou $U=\emptyset$
• tout ouvert non vide de $k^n$ est dense

Donc, les ouverts de $k^n$ sont tous denses dans $k^n$. En revanche, lorsqu'on induit la topologie de Zariski sur un de ses fermés, on ne transmet pas forcément le caractère irréductible : V est alors irréductible si et seulement si I(V) est un idéal premier. Cette intéressante équivalence entre algèbre et topologie est une des nombreuses richesses que propose l'examen de la topologie de Zariski.

Pour en savoir plus
D. Perrin, Géométrie Algébrique - Une Introduction, Ed. EDP Sciences (2009).